《数学西游记》「数学西游记的全部故事」

第27回

庆功酒宴，百钱如何买百鸡

拼盘水果，桃三李四橄榄七

话说唐僧师徒西天取经凯旋归来第二天，皇帝特地在国宾馆设下百鸡宴为他们师徒接风洗尘.

夜幕降临，国宾馆宴会大厅灯火辉煌，圆形大餐桌上摆满山珍海味，佳肴美酒，师徒四人同席而坐.

皇帝知道猪八戒特别喜欢吃鸡，特意吩咐安排了100只鸡.面对眼前形态各异、色香味俱全的100只鸡，孙悟空忽然想起了古代流传至今的”百钱买百鸡”问题，他说：“今天我以鸡为题来出个题目，一来以此替代丝竹管弦之乐给大家饮酒助兴，二来让大伙动动脑筋延迟衰老，避免痴呆怎么样？”

“这个好。边吃边思考问题不仅可以增加用餐的乐趣，还可以增加食欲.”大家一致同意悟空的建议.

“大家听好了，说：用100个钱，买100只鸡，公鸡一只卖5钱，母鸡一只卖3钱，小鸡三只卖1钱.问公鸡、母鸡和小鸡应各多少只？”悟空说完题目，看见对面的八戒正吃的起劲，“八戒，你听清楚了吗？”

“我听着呢，猴哥.”八戒心不在焉地答道.

“二师兄，我看这100钱如果全部买公鸡或母鸡，那显然买不足100只鸡的；如果全部买小鸡，则可以买好几百只呢.我看公鸡和小鸡都要买.”沙僧说，“但究竟该怎样买我还没有想出来.”

猪八戒抓起一只大公鸡，左啃右咬，觉得有点费劲.他言不由衷地说：“这100个钱要是让我买，我肯定不买或少买公鸡，公鸡肉太老了不好吃.”

“如果不买公鸡，只买母鸡和小鸡，那么该怎么买呢？”悟空觉得八戒的歪打有点正着，这种思路快要接近于问题的解决方案了，他进一步提示性地问道，“如果买1只母鸡和3只小鸡需要多少个钱呢？”

“需要4个钱.”八戒边吃边不假思索地说，“啊，我知道了，把1只母鸡和3只小鸡分为一组作为一个‘套餐’，一个‘套餐’中有4只鸡，需要4个钱，100个钱买这样的‘套餐’恰好可以买25套，这25套中有母鸡25只，小鸡75只，刚好100只，满足了‘百钱买百鸡’的要求.因此，可以买公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只.”

“可以啊，悟能，越来越聪明啦！”唐僧赞叹道.

“呆子，要是公鸡好吃呢？”孙悟空问，“你一只也不买吗？”

“公鸡好吃我当然要买了.”八戒毫不含糊.

“那该怎么个买法呢？”悟空不信猪八戒能进步得这么大.

好个猪八戒，他灵机一动，心里这样想着：既然要保证钱和鸡的总数不变，又由于公鸡的价格较高，因此在原来的这种购买方案中只能用减少购买母鸡的只数，增加购买小鸡的只数，从而换取公鸡.于是得到了以下几种购买方案：

因为4只公鸡和3只小鸡的价钱为21元，7只母鸡的价钱也是21元，因此可得第一种方案：

母鸡少买7只，用这7只母鸡的钱21元去换4只公鸡和3只小鸡，即买公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；

又因为8只公鸡与6只小鸡的钱与14只母鸡的钱也相等，因此又可得另一种够买方案：公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；

此外，因为12只公鸡与9只小鸡的钱与21只母鸡的钱相等，故可买公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只.

这一回孙悟空不得不心服口服，也和唐僧等人一起直夸八戒自西天归来简直就象换了个头脑似的，夸得八戒都不好意思地低下了头.

“事实上，八戒的购买方案虽然精巧，但让人觉得有点晕，”悟空不无有点遗憾地说，“如果运用不定三元一次方程的知识，问题的解决将会变得更加简洁、清晰明了.”

“刚才俺想到的方案其实是因为触景生情偶然想到的.”八戒酒足饭饱，站起来伸伸了懒腰说，“我也想到了用方程求解，设公鸡买x只，母鸡买y只，小鸡买z只，依题意，可得如下两个方程：

x y z=100……(1)

5x 3y z/3=100……(2)

可是，这里有三个未知数，却只有两个方程，怎么解得x、y的值呢？”

“解三元一次方程组时，无论方程组如何先考虑消元，把它化为二元一次方程组，这是解方程组的基本思想，谁也不能免俗.”唐僧概括性地说.

“师父说的是.”悟空说，“由（1），得：

z=100-x-y……（3）

把（3）代入（2），消去z，得

5x 3y （100-x-y）/3=100，

整理，得7x 4y=100，

用含x的代数式表示y，得

y=25-7x/4…………（4），

因为0≤x、y≤100，0≤x y≤100，且x，y为整数，故从方程（4）可知x只能取0，4，8，12，从而可得方程组的解有四个，分别是：

①x=0，y=25，z=75；

②x=4，y=18，z=78；

③x=8，y=11，z=81；

④x=12，y=4，z=84.

因此，共有四种购买方案：①买公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；②公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；③公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；④公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只.”

大家边聊边吃，不会儿就酒足饭饱了，餐桌上杯盘狼藉，宴会已接近尾声，这时服务员端出一大盘拼盘水果，果盘里有红红的桃子、黄黄的李子和青青的橄榄，诱人的颜色和香甜的果味令人垂涎三尺.

“且慢，八戒.”看见这三种水果同时出现在同一个果盘中，悟空忽然想起了古代一个有趣的关于桃、李和橄榄的问题说，“八戒，你要是能够解决一个叫做‘桃三李四橄榄七’问题，这盘水果都归你.”

“‘桃三李四橄榄七’是什么意思？”八戒止住正伸向果盘的双手问道.

“这是一个古代的数学题，题目的意思是：桃子每个3文钱，李子每个4文钱，橄榄每个7文钱，用100文钱买桃子、李子和橄榄，然后购买可以买到最多个果子？”悟空补充说，“100文钱要全部花完，而且每种水果都要买.”

“三种水果都要买，关键在于确定各种水果各买多少个？要买到最多个的水果，橄榄最贵尽量少买，其次是李子也尽可能少买，桃子便宜尽量多买.”八戒自言自语，忽然想起了方程，说，“设桃子买x个，李子买y个，橄榄买z个.依题意，得如下方程：

3x 4y 7z=100.”

“二师兄，这是三元一次方程组，怎么解呢？”沙僧一见担心地说.

“没事的，这里的x、y、z都是正整数，”八戒受到前面百鸡问题解法的启示，蛮有把握地说，“大不了对x、y、z的值从1开始进行一一尝试、检验.”

“这样也太麻烦了吧，二师兄.”沙僧困意顿生，“等你算出来时天都亮了.”

“很快就好了.”八戒看了一下刚才百鸡问题的求解，说，“我先把这个方程化为用含y、z的代数式表示x的形式，得：

3x=100-4y-7z，x=（100-4y-7z）/3，

因为x、y、z都是正整数，所以100-4y-7z是3的倍数，

依题意，先取z的最小值1(此时如果找不到购买方案再取z=2)，则

x=（93-4y）/3，

取y的最小值1，则x=89/3，不合题意；

取y=2，则x=85/3，不合题意；

取y=3，则x=81/3=27，符合题意，此时y=3，z=1；

所以可买最多果子的方案是：购买桃子27个，李子3个，橄榄1个.”

“行啊八戒，大有长进.”悟空赞许道.

“猴哥，再来一题吧。”八戒边吃着果盘里的水果边说，“反正时间还早，回去也睡不着。”

“好的，题目听好了。”悟空说，“老师给甲、乙、丙三人出了100道题，每人都解出了其中的60道，将其中只有一人能解出的题叫做难题，有两人解出的题叫做中档题，三人都解出的题叫做容易题，如果这100道题都有人解出，求难题比容易题多几道题？”

“设难题为x道，中档题为y道，容易题为z道。”一听完题目八戒马上进行了设元，接着轻而易举地列出了如下方程：

x y z=100……（1）

“肯定还需要再列一个方程的……可是这个方程在哪里呢？……”八戒不断抓腮扰耳也没想出来。

“二师兄，题目说‘每人都解出60道题’你想到了吗？”

“我想到了，三人不就是共解了180道题吗，”八戒迟疑不决，“可是这180道题跟x、y、z有什么关系呢？”

“八戒，我给你提示一下吧。”悟空见八戒实在是想不出来了，“这180道题难题被解过几遍？还有中档题和容易题呢，它们分别被解过多少遍？”

“难题被解过1遍，中档题被解过2遍，容易题被解过3遍。”八戒一拍脑门，“有啦，这180道题中，难题有x题，中档题有2y题，容易题有3z题。”

于是，八戒又列出了第二个方程：

x 2y 3z=180……（2）

如何解这个方程组呢？师父刚刚说过的“消元”虽然犹在耳边，但消去哪元好呢？

“八戒，解这个题的目标是什么？不要忘记了目标，迷失了方向。”师父见八戒犹豫不决提醒道，“有些人题目解了大半，却忘记了题目要求的是什么，这是解题之大忌。”

“哦，我知道了，要求的是x-z的值。与y无关，所以消去y。”八戒终于如梦初醒，马上想到了如下的解法：

（1）×2-（2），得：x-z=20.

所以，难题比容易题多20道题。

“没想到方程有此重要的应用，而且简洁明了！”八戒感悟道。

“何止方程组有重要的应用，任何数学知识都是有着重要的应用.”唐僧总是关键时刻对八戒进行循循善诱，“悟空，等下回到驿馆后再出几个问题让八戒练练脑子，否则再过几天回到高老庄后怎么出人头地啊！”

“好的师父。”

子夜时分，宴会终于结束散席了.

欲知师徒四人回到驿馆后将有何事发生？请看下回分解.